Gracias por visitar nature.com.Está utilizando una versión de navegador con soporte limitado para CSS.Para obtener la mejor experiencia, le recomendamos que utilice un navegador más actualizado (o desactive el modo de compatibilidad en Internet Explorer).Mientras tanto, para garantizar un soporte continuo, mostramos el sitio sin estilos ni JavaScript.Control deslizante con tres artículos mostrados por diapositiva.Use los botones Anterior y Siguiente para navegar por las diapositivas o los botones del controlador de diapositivas al final para navegar por cada diapositiva.Jan Swierczek-Jereczek, Alexander Robinson, … Marisa MontoyaKa Yan Au-Yeung, Brian Yang, … Z. YangMS Al-Ghamdi, ME Khater, … EG NepomucenoMichel Fruchart, Ryo Hanai, … Vincenzo VitelliTian Qiu, Iván Bonamassa, … Shuguang GuanJudita Buchlovská Nagyová, Branislav Jansík y Marek LampartScientific Reports volumen 12, Número de artículo: 9531 (2022) Citar este artículoUn número irracional aparentemente omnipresente que a menudo aparece en la naturaleza y en cosas hechas por el hombre, como estructuras, pinturas y sistemas físicos, es el número áureo.Aquí, mostramos que este asombroso número aparece en las soluciones periódicas de un oscilador de masa-resorte subactuado impulsado por una autoexcitación no lineal.En concreto, utilizando el método de perturbación de dos escalas de tiempo, se demuestra analíticamente que el número áureo aparece en la relación de amplitudes, así como en la frecuencia de oscilación de la solución periódica, a la que se denomina solución áurea y, aplicando el método de Poincaré, se demuestra que esta solución es asintóticamente estable.Adicionalmente, se ilustran los resultados analíticos mediante simulaciones numéricas y también se realiza un estudio experimental.Alrededor del año 300 a. C., el matemático griego Euclides, introdujo al mundo la división en razón extrema y media en la que una línea dada se divide en dos segmentos de manera que la razón de la línea completa al segmento más grande es igual a la razón del segmento más grande. segmento al segmento más corto.Posteriormente, en el siglo XIX, esta razón pasó a denominarse sección áurea o proporción áurea y, desde entonces, su estudio ha llamado la atención de matemáticos, historiadores, arquitectos, entre otros1.El valor numérico de la proporción áurea, que está fuertemente relacionado con la secuencia de Fibonacci, véase, por ejemplo, Ref.2, se puede obtener de la siguiente manera.Considere una línea de longitud x y divida la línea de manera que el segmento más grande sea igual a 1. Entonces, se dice que los segmentos satisfacen la relación extrema y media mencionada anteriormente si se cumple lo siguienteReescribiendo esta ecuación se obtiene el polinomio de segundo orden en xLa raíz positiva \(\varphi\) se conoce como el número áureo.Curiosamente, se ha descubierto que la proporción áurea aparece con frecuencia en la naturaleza.Por ejemplo, en la estructura de las galaxias, en la disposición de los pétalos de una rosa, en las semillas de la manzana, en las conchas espirales de los moluscos y en la proporción de masas de dos cuasipartículas en el niobato de cobalto3,4,5, solo por mencionando algunos.Para obtener más ejemplos, que van desde la biología hasta la arquitectura y la música, incluidos algunos ejemplos controvertidos sobre edificios y pinturas antiguos, se remite al lector interesado a 3,6,7,8,9.En cuanto a los sistemas físicos, el número áureo ha aparecido, por ejemplo, en un oscilador armónico simple10, en las soluciones de un péndulo esférico11 y en una red de resistencias12.Cabe señalar que, además de su intrigante interpretación geométrica y matemática, existen ejemplos donde la proporción áurea es de suma importancia.Por ejemplo, un estudio reciente13 ha demostrado que la distribución de la proporción áurea observada en las nervaduras de las hojas de los árboles permite maximizar la rigidez a la flexión y además, con esta distribución áurea, el área de la hoja expuesta a los rayos solares es mayor, lo que en última instancia es beneficioso durante el proceso de fotosíntesis.Además, la proporción áurea también encuentra aplicaciones interesantes, como en el diseño de antenas para mejorar el ancho de banda y aumentar la ganancia de la antena14,15, y en imágenes de resonancia magnética, para reducir la aparición de artefactos relacionados con las corrientes de Foucault16, entre otras.En este trabajo se demuestra que la proporción áurea aparece en la solución periódica de un oscilador mecánico subactuado, el cual está compuesto por dos masas interconectadas.Solo una de las masas es excitada por un término débilmente no lineal para tener oscilaciones autosostenidas en el sistema.Específicamente, se muestra que el sistema tiene una solución periódica estable, la cual tiene las siguientes propiedades: (1) la relación de amplitudes correspondientes a los osciladores accionados y no accionados es igual a la proporción áurea, (2) la frecuencia de oscilación de los osciladores solución periódica es igual a la frecuencia natural de los osciladores desacoplados escalada por el número de oro.Es importante recalcar que las propiedades antes mencionadas son independientes de los parámetros intrínsecos de los osciladores.Además, la aparición del número áureo en la solución periódica se demuestra analíticamente utilizando un método de perturbación, a saber, el método de dos escalas de tiempo y también, las condiciones analíticas para la estabilidad de la solución periódica se obtienen utilizando el método de perturbación de Poincaré.Los resultados teóricos obtenidos se ilustran numéricamente y además, se realiza un estudio experimental para validar los resultados analíticos.Los experimentos se realizan utilizando un dispositivo electromecánico.En última instancia, los resultados analíticos, numéricos y experimentales obtenidos que se presentan aquí dan una clara evidencia de que el oscilador mecánico subactuado con autoexcitación débilmente no lineal tiene "soluciones áureas": el número áureo aparece en la amplitud y frecuencia de la solución periódica estable.Considere el sistema mecánico que se muestra en la figura 1, que consta de dos masas idénticas de masa m (kg).Las masas están acopladas a través de un resorte y además, una de las masas está unida a un soporte fijo a través de un resorte.Ambos resortes son idénticos y tienen un coeficiente de rigidez k (N/m).Además, solo la primera masa es accionada por la señal de entrada \(U_{1}\) .En consecuencia, el sistema mecánico es de hecho un sistema subactuado porque tiene más grados de libertad que los actuadores.por ejemplo Refs.17,18.Diagrama esquemático del oscilador mecánico.El comportamiento dinámico del sistema se rige por el siguiente conjunto de ecuacionesdonde \(x_{1},x_{2}\in {\mathbb {R}}\) describen las posiciones de las masas.Por otro lado, el siguiente término no lineal se aplica a la masa actuada para inducir una oscilación autosostenidadonde \(0<\epsilon \ll 1\) es un parámetro pequeño y \(\lambda ,H^{*}\in {\mathbb {R}}_{+}\) son parámetros de diseño.Tenga en cuenta que el término no lineal (5) disipa energía para \((\frac{1}{2}m{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}kx_{1}^2)> H^{*}\) , mientras que bombea energía al sistema durante \((\frac{1}{2}m{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}kx_{1 }^2)